Kihagyás

Határérték

Mi az a határérték?

Legyen az f(x) függvény értelmezve az x0 pont egy környezetében, kivéve esetleg az x0 pontot. Az f(x) függvénynek létezik az x0 pontban határértéke és ez „A”, ha bármely (∀) ε>0-hoz létezik (∃) olyan δ>0, hogy ha 0<|x-x0|<δ, akkor |f(x)-A|<ε.

Hát ebből egy szót nem értek, de ez a hivatalos definíció. (ez csak egy kis errettentés volt, hogy ne akarj szóbelizni ;) )

Kitalálom hogy én meg akarom nézni mi az f(x) határértéke a z helyen. Elkezdek szépen sétálni a z felé a számegyenesen (x tengelyen), egyre közelebb és közelebb érek hozzá, de sosem szabad rálépnem, sosem juthatok el z-ig, de végtelenül közel kerülhetek hozzá. Ha ezen a z-hez végtelenül közeli helyen megnézem mennyi a függvény értéke, a határértéket kapom. - Ez volt a szemléletes definíció, most nézzük a matematikus megfogalmazást.

Az értelmezési tartományunkban ne legyen benne az x0 pont (amiről meg akarjuk tudni hogy itt van e határérték): a környezete igen, de maga az x0 pont ne. Van határértéke x0-nak és ez a határérték A, ha bármilyen pozitív ε (epszilon)-t veszek, létezik hozzá olyan δ (delta), amire igaz az hogy 0<|x-x0|<δ, akkor |f(x)-A|<ε. - nem értem ):

Határérték jelölése

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A\]
  • \(lim\)-el (limesz) jelöljük hogy egy határértékről beszélünk
  • \(x \rightarrow x_0\) mutatja hogy melyik helyhez tart a függvény. pl. ha a 2 helyen érdekel minket a függvény határértéke, akkor \(x \rightarrow 2\)
  • \(A\) a függvény határértéke. Ezt kell általában kiszámolni.

Nevezetes határértékek

Nem csak egy számhoz tarthat a limesz, hanem mondjuk végtelenhez, minusz végtelen vagy 0-hoz is. Van egy rakás alap függvény, aminek a limesz-ét tudni kell fejből a feladatok megoldásához. A függvények grafikonját talán még könyebb megtanulni mint ezt a táblázatot.

Összeadás, kivonás

Nevezetes határértékek

\(x \to -\infty\) \(x \to 0\) \(x \to \infty\)
\(x\) \(-\infty\) \(0\) \(\infty\)
\(\frac{1}{x}\) \(0\) - \(0\)
\(x^2\) \(\infty\) \(0\) \(\infty\)
\(x^3\) \(-\infty\) \(0\) \(\infty\)
\(2^x\)
\(e^x\)
\(x \to -\infty\) \(x \to 0\) \(x \to \infty\)
\(\sqrt{x}\)
\(\sqrt[3]{x}\)
\(x \to -\infty\) \(x \to 0\) \(x \to \infty\)
\(sin{(x)}\)
\(cos{(x)}\)
\(tan{(x)}\)
\(cot{(x)}\)
\(arcsin{(x)}\)
$\(arccos{(x)}\)
\(arctan{(x)}\)
\(arccot{(x)}\)

Szorzás, osztás

Hatványozás, gyökvonás

Logaritmus

Szögfüggvények

\[\lim_{x \to \infty} 10*x = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\]
\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]
\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0\]
\[\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} x^3 = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} x^k = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2} = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^k} = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{2} = \infty\]
\[\lim_{x \to \infty} \frac{x}{3} = \infty\]

- végtelen

\[\lim_{x \to -\infty} 10*x = -\infty\]
\[\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\]

Folytonos függvények határértéke

Folytonosság

Ha a függvény folytonos, akkor a határértéke megegyezik a fügvényértékkel.

Bízz bennem, így van, de ne akard bizonyítani. A nem folytonos függvényekre majd még kitérünk, most kezdjünk a folytonosokkal.

A legtöbb függvény, amikkel a vizsgán találkozni fogunk folytonos. Ekkor a függvény határértéke egyenlő a függvény értékével az adott pontban.

Egyszerű eset

Egyszerű folytonos függvény határértéke

\[\lim_{x \to 2} \frac{x^3}{4} = ?\]

Magyarul: Számoljuk ki a 2 helyen az \(\frac{x^2}{2}\) határértékét. A függvény folytonos, ezért a határéték megeggyezik a függvényértékkel, csak be kell helyettesítenünk az x helyére a 2-t és megvan a határéték.

\[\lim_{x \to 2} \frac{x^3}{4} \to \frac{2^3}{4} = 2\]

Nézzünk egy másik példát is:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{2x+6}{4} = ?\]
\[\lim_{x \to \infty} \frac{2x+6}{4} \to \frac{2 \cdot \infty+6}{4} = \frac{\infty}{4} = \infty\]

Végetelent is simán be lehet helyettesíteni, de ilyenkor nagyon kell vigyázni, mert külön szabályok vannak a végtelen műveletekre.

Végtelen műveletek

Végtelen műveletek

\[\infty + \infty = \infty\]
\[\infty + szám = \infty\]
\[\infty - \infty = -\infty + \infty = ?\]
\[\infty - szám = \infty\]
\[szám - \infty = -\infty\]
\[\infty \cdot \infty = \infty\]
\[\infty \cdot -\infty = -\infty\]
\[\infty \cdot pozitív szám = \infty\]
\[\infty \cdot negatív szám = -\infty\]
\[\infty \cdot 0 = ?\]
\[-\infty \cdot 0 = ?\]
\[\frac{\infty}{\infty} = ?\]
\[\frac{-\infty}{-\infty} = ?\]
\[\frac{\infty}{-\infty} = ?\]
\[\frac{-\infty}{\infty} = ?\]
\[\frac{\infty}{pozitív szám} = \infty\]
\[\frac{\infty}{negatív szám} = -\infty\]
\[\frac{-\infty}{pozitív szám} = -\infty\]
\[\frac{-\infty}{negatív szám} = \infty\]
\[\frac{pozitív szám}{\infty} = 0\]
\[\frac{pozitív szám}{-\infty} = 0\]
\[\frac{negatív szám}{\infty} = 0\]
\[\frac{negatív szám}{-\infty} = 0\]
\[\frac{0}{\infty} = 0\]
\[\frac{0}{-\infty} = 0\]
\[\frac{\infty}{0} = ?\]
\[\frac{-\infty}{0} = ?\]
\[\infty^k = \infty\]
\[\infty^2 = \infty\]
\[\infty^{-2} = \frac{1}{\infty^2} = 0\]

Páros hatványok pozitívvá teszik:

\[-\infty^2 = \infty\]

Páratlan hatványok negatívan hagyják:

\[-\infty^3 = -\infty\]
\[2^\infty = \infty\]
\[2^{-\infty} = \frac{1}{2^\infty} = 0\]
\[0^\infty = 0\]
\[\infty^0 = 1\]

Todo:

Ahhol kérdőjelet látsz, ott nem lehet ennyiből megmondani mennyi az eredmény. A végtelen egy elég tág mértékegység, nem adja meg hogy pontosan mekkora az a végtelen. Ugye \(\infty + 1 = \infty\) egyel nagyobb lett a végetelen mégis ugyan úgy hívjuk. Szóval a \(\infty - \infty\) nagyjából annyira pontos megfogalmazás a matematika világában mint a \(szám - szám\). Nem derül ki belőle pontosan mennyi az adott érték, ezért egy csomó művelet nem vagy csak trükkőzéssel végezhető el.

Speciális esetek

10 000-ből 9999 esetben gyerekjáték meghatározni egy folytonos függvény határértékét, de ha valamelyik fenti kérdőjeles eset jön elő, nagyon nehéz. A vizsgán csakis ezt a pár nehéz esetet kérik, szóval a továbbiakban ezekkel foglalkozunk.

"∞/∞" tipusú határérték

Általában egy törthöz vagy egész számhoz tart, aránylag egyszerű megoldani.

Megoldás domináns tag kiemelésével

"∞/∞" tipusú határérték megoldása domináns tag kiemelésével

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{n^2-2n}{3n^2-2} = ? \]

Emeljük ki a számlálóban és a nevezőben szereplő kifejezés legnagyobb kitevőjű (domináns) x-es tagját.

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{n^2-2n}{3n^2-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{n^2 \cdot (1-\frac{2n}{n^2})} {n^2 \cdot (3 - \frac{2}{3n^2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{n^2}{n^2} \cdot \frac{1-\frac{2n}{n^2}}{3 - \frac{2}{3n^2}} = \]
\[ = \lim_{x \to \infty} 1 \cdot \frac{1-\frac{2}{n}}{3 - \frac{2}{3n^2}} \to 1 \cdot \frac{1-\frac{2}{\infty}}{3 - \frac{2}{3\infty^2}} = \frac{1-0}{3-0} = \frac{1}{3} \]
  • Kiemelésnél minden tagot el kell osztani a számmal amit kiemeltünk
  • Ha egy számot elosztok önmagával az egy lesz: \(\frac{4}{4} = 1\), \(\frac{n^2}{n^2} = 1\)
  • \(\lim_{x \to \infty} 1/\infty \to 0\)

Sokszor több lehetséges kiemelés is létezik. Neked kell eldöntei melyiket érdemes választani. Pl. ez a feladat megoldható így is:

\[ \lim_{n \to \infty}\frac{n^2 - 2n}{3n^2 - 2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2 \cdot (1 - \frac{2n}{n^2})}{3n^2 \cdot (1 - \frac{2}{3n^2})} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{3n^2} \cdot \frac{1 - \frac{2}{n}}{1 - \frac{2}{3n^2}} \to \frac{1}{3} \cdot \frac{1-0}{1-0} = \frac{1}{3} \]

"0/0" tipusú határérték

0-val nem lehet osztani. Valahogy fel kell oldanunk ezt az ellentétet, amire több féle eszköz is kínálkozik. A továbbiakban alapvetően egyenlet rendezéssel oldjuk meg a feladatokat. Vizsgán is hasonlóra lehet majd számítani, ezért érdemes a különféle megoldási módokat jól begyakorolni.

"∞/0" tipusú határérték

"0/∞" tipusú határérték

"∞*0" tipusú határérték