Függvények¶
A függvények lényegében a matematikusok gépei. Olyanok mint egy varázsdoboz: bele dobsz egy számot (input), végrehajt rajta egy rakás módosítást és kiesik a végén egy eredmény (output).
Ez a bonyolult felírás lényegében annyit mond, hogy melyik változón és milyen módosítást kell végre hajtani a gépnek.
Nevezzük el a gépünket (függvényünket) f-nek, várjon egy x nevű bemeneti változót. Vonjon ki belőle 1-et majd ossza el 2-vel és adja vissza az eredményt
Így talán ismerősebb lesz:
A 5 helyen a függvény a 2 értéket veszi fel. Szóval a függvény értéke az 5 helyen 2 lesz.
Értelmezési tartomány és érték készlet¶
Függvény grafikonja (képe)¶
A függvény bemeneti változóját sokszor x-nek, a kimeneti változót sokszor y-nak szoktuk nevezni egy praktikus okból: így egyszerűbb ábrázolni grafikonon. Ha az x koordináta lesz a bemeneti változó, y a kimeneti, kirajzolódik a függvény képe:
Note
Ha vesszük a függvény egy pontját, annak első az az x koordinátáját helynek, másodikat az az y-t értéknek vagy függvényértéknek szoktuk nevezni.
Az x tengely a bemeneti változó lehetséges értékeit, az y tengely a függvény által erre adott eredményt mutatja. Ebből általában kirajzolódik egy szép vonal, aminek minden pontja megadja hogy adott inputra milyen output-ot ad a függvény. Más szavakkal hogy az adott helyen milyen értéket vesz fel a függvény.
\([6, 2]\)
\([x = hely = 6, y = érték = 2]\)
A 6 helyen 2 értéket vesz fel a függvény. A 6 helyen a függvényérték 2 lesz.
Szélső érték¶
Zérushely¶
Azokat a helyeket nevezzük zérus helynek, ahol a függvény értéke nulla. Magyarul ha y=0, akkor zérus helyen vagyunk. Ha nem metszi az x tengelyt a függvény, nincs zérushelye.
Ezt így lehet kiszámolni \(f(x) = 0\) -> Keresnünk kell egy olyan x-et, amivel ha kiszámoljuk a függvény értékét, nullát kapunk.
Gimiben a másodfokú egyenletek megoldásánál, lényegében a függvény zérus helyeit kerestük: \(x^2+2x-1 = 0\)
Minimum, maximum, lokális minimum, lokális maximum¶
Minimum és maximum néven lényegében a függvény legkisebb és legnagyobb pontját vagy pontjait keressük. A feladatoknál meg kell mutatni hogy nem vehet fel ennél kisebb értéket a függvény, nincs ennél lentebbi pont a grafikonon.
Ha sétálsz lefelé egy hegyről és egyszer csak azt veszed észre hogy már felfelé mész egy másik hegyrem akkor áthaladtál egy völgyön, egy lokális (helyi) minimum ponton. Tudod hogy a hely ahol jártál lentebb van mint az előtte és utána lévő részek, de azt nem vajon ez e a legalacsonyabb pont a környéken.
- Ha csökken a függvény értéke, majd elkezdett nőni, lokális minimum volt, ha nőtt majd elkezdett csökkeni lokális maximum volt.
- A sima minimum/maximum a legkisebb/legnagyobb lokális minimum/maximum
- Ha elszáll a végtelenbe vagy a minusz végtelenbe a függvény nincs minimuma/maximuma, de lokális minimuma vagy maximuma lehet.
Monotonitás¶
Azt mondja meg hogy az adott helyen nő vagy csökken a függvény.
- Monoton csökken/növekszik: kisebb/nagyobb helyhez kisebb/nagyobb vagy egyenlő érték tartozik
- előző pont <= jelenlegi pont -> Monton növekszik
- Szigoróan monoton csökken/növekszik: A függvény minden pontja biztosan kisebb/nagyobb az előzőnél az adott intervallumban
- a kisebb/nagyobb bemenethez mindig kisebb/nagyobb kimenet tartozik.
- előző pont < jelenlegi pont -> szigorúan monton növekszik
- Általában ilyenekkel dolgozunk.
- pl. z \(x\) függvény.